옵션 프리미엄 계산방법

5-2. 옵션 프리미엄 계산방법

옵션 프리미엄 계산방법에는 시간에 따른 기초자산 가격의 움직임에 대해 가정을 하고 만기에서의 옵션 기대가치를 추정하는 블랙-숄즈(Black & Sholes(1973)) 방법과, 옵션 매도시 무위험 헷지를 구성하여 프리미엄을 게산하는 이항모형(binomial model)의 두 가지가 있다. 블랙-숄즈(Black & Sholes(1973)) 이론에 대한 자세한 설명은 복잡한 수학 및 통계학적 지식을 요하므로 이 글에서는 약하도록 한다. 관심이 있는 독자는 다양한 관련서적을 참조할 수 있을 것이다. 이 모형에서 옵션의 가치를 결정하는 다섯 가지 요소는 기초자산 가격, 옵션행사가격, 금리, 만기까지 남은 기간 및 기초자산가격의 변동성이다.

이항모형(binomial model)에 의한 콜옵션 프리미엄 계산은 예를 들어 설명하도록 한다. 현재 기초자산가격(S)이 100 인데 향후 가격흐름에는 두 가지 가능성만 있다고 가정하자. 즉, u(=1.2)의 비율로 상승하거나 d(=0.9)의 비율로 하락하는 두 가지이다. 옵션의 행사가격(X)은 100 이다. 이때 콜옵션 프리미엄(C)의 값을 계산해보자. 

이를 위해서 다음 포트폴리오를 상정한다. 즉, 가격이 C인 콜옵션 3개를 매도하고, 가격 100인 기초자산 2개를 매입한다. 또한 10%의 금리로 163.64 의 자금을 차입한다. 이때 필요한 초기 현금흐름을 계산하면 3C - 200 + 163.64 = 3C - 36.36 이 된다. 콜옵션의 만기에 이르렀을 때 만기 현금흐름은 다음 표에 정리되어 있다.

<콜옵션의 만기현금흐름>

  기초자산가격

 상승

 하락

 

자산매도로부터 현금수입

 2*120=240

 2*90=180

 

콜옵션 매도에 따른 현금유출 

 3*(-20)=-60 

 3*0=0

 

차입금 원리금 상환 

 -180

 -180

 

만기 순현금흐름

 0 

 0 

 

 

결국 만기시점에서 기초자산가격이 어떻게 형성되든 만기 순현금흐름은 0 이다. 이 포트폴리오를 초기에 판매한다면 누구도 돈을 내고 사지 않을 것이다. 만기에 가서 한 푼도 못받을 것을 누가 돈을 주고 사겠는가? 따라서 포트폴리오의 초기가격은 0 이 된다. 따라서 앞서 살펴본 포트폴리오 구성에 필요한 초기 현금흐름도 0 이 되어 역산하면 콜옵션 프리미엄(C)은 12.12가 된다. 

이항모형은 옵션가격 계산에 상승, 하락의 확률이 불필요할 뿐 아니라 비교적 사용하기 쉽다. 또한 모형에 제약적 가정이 적어 다양한 경우에 확장가능하다. 다만 기초자산가격의 다양한 변화가능성을 고려할 때 향후 가격흐름에 두 가지 가능성만 있다고 가정함이 비현실적이라는 문제점을 지적할 수 있다. 그러나 이 가정은 쉽게 확장될 수 있어 모형 구성에 제약적인 요인으로 작용하지 않는다. 또한 u와 d도 선택에 따라 다양한 가격변동 과정이 산출되도록 할 수 있다. 일반적 선택방법은 이항모형을 로그정규분포에 가깝게하여 블랙-숄즈 모형과 비슷하게 만드는 것이다. 이에 대한 자세한 설명은 생략하기로 한다.

앞의 설명들은 모두 콜옵션 프리미엄을 결정하는 식이다. 그렇다면 풋옵션의 프리미엄은 어떤 식에 따라 결정되는가? 물론 콜옵션 프리미엄을 계산하는 식과 같이 풋옵션 프리미엄을 계산하는 식을 만들 수도 있다. 그러나 더욱 간편한 방법이 있다. 콜옵션 프리미엄과 풋옵션 프리미엄간에는 일정한 관계식이 성립하는데 이를 풋-콜 패리티(Put-Call Parity)라고 한다. 이 관계식을 이용하면 간단하게 풋옵션 프리미엄을 산출해낼 수 있다.

풋-콜 패리티(Put-Call Parity)를 도출하기 위해서 다음과 같은 거래를 상정해보자. 우선 만기 t, 행사가격 X인 콜옵션 1 단위를 매도함과 동시에 동일 조건을 갖춘 풋옵션 1 단위를 매입한다. 더불어 기초자산 1 단위를 매입하고 만큼의 자금을 차입한다. 이 거래를 통해 들어온 현금흐름은 (콜 가격-풋 가격-기초자산 가격+차입금 현재가치)이 된다. 

이제 옵션만기시점의 현금흐름을 보자. 인 경우 기초자산 매도로부터 현금이 들어오나, 매도했던 콜옵션이 행사되면서, 그리고 차입금 변제로 현금이 나간다. 결국 남는 것이 전혀 없다. 반대로 인 경우 매입해둔 풋옵션을 행사하여, 또 기초자산 매도로부터 현금이 들어오고, 차입금 변제로 현금이 나간다. 이때도 결국 남는 돈은 전혀 없다. 

결국 옵션만기 시점에서 기초자산가격이 어떻게 되는 윗 전략에 의하면 만기시점의 현금흐름은 0 이 된다. 앞서 설명과 마찬가지로 이 전략의 포트폴리오를 판매한다면 누구도 돈을 내고 이 포트폴리오를 사지 않을 것이며, 따라서 포트폴리오의 초기가격은 0 이 된다. 앞서 살펴본 포트폴리오 구성에 필요한 초기 현금흐름도 0 이 되어 풋-콜 패리티식이 성립한다. 이 식을 이용하면 콜옵션 프리미엄, 기초자산 가격, 옵션행사가격, 금리, 만기까지 남은 기간으로부터 풋옵션 프리미엄을 계산할 수 있다.